De Gulden Snede
over het nachtkastje van Aart Veenenbos

Het is al eeuwen bekend dat de mens, bij het kijken naar een object, de verhoudingen van lengte, breedte en hoogte als aangenaam (goed gevoel) of wanstaltig (U wordt er a.h.w. misselijk van) ervaart. Bijvoorbeeld een schilderijomlijsting. Als de verhouding tussen de hoogte en de breedte voor uw gevoel niet "klopt", dan veroorzaakt dit een, laten we zeggen, onprettig gevoel, met het gevolg dat U het totale schilderij zult onderwaarderen. Uw gevoel voor schoonheid wordt dan namelijk aangetast.

Over het voorgaande effect is kennelijk al heel lang nagedacht en men is ooit tot de conclusie gekomen dat er in de menselijke geest, en misschien ook wel bij dieren, kennelijk onderscheid gemaakt wordt tussen juiste en niet juiste beelden die de hersenen ontvangen. Het zou best eens zo kunnen zijn dat er, in fase zijnde of juist tegenstrijdige, electromagnetische signalen aan de hersenen toegevoerd worden die daar dan navenant op reageren (weet ík veel?).

Om een lang verhaal nog even te rekken:

Een slimmerik heeft indertijd een formule bedacht waarmee je een willekeurig lijnstuk zodanig in twee ongelijke stukken kunt verdelen dat het resultaat door iedereen altijd als juist wordt ervaren. Deze formule noemde hij "De Gulden Snede". Deze naam doet mij aan de Middeleeuwen denken maar ik vermoed dat ze in de romeinse tijd ook al met deze formule bekend waren.

Noem je nu de gehele lijn a, het korte lijnstuk b en het lange c, dan luidt die formule: b : c = c : a.
Precies vijfenvijftig jaren geleden heb ik op de H.B.S. deze formule bij wiskunde moeten leren. Ik weet niet hoe dat tegenwoordig gaat, maar mij heeft de leraar nooit verteld wat het nut ervan was of wat je ermee kon. Wat de lol van de stelling van Pythagoras was ben ik ook pas veel later achter gekomen!

Nu wilde het geval dat ik voor de aankleding van onze slaapkamer op dringend verzoek van mijn echtgenote twee nachtkastjes moest maken en daar ik nog al een Pietje Precies ben als het op ontwerpen aankomt en daar ik inmiddels bekend was met de functie van De Gulden Snede, heb ik de formule opgezocht in m'n oude wiskunde boek. Vol trots kan ik hierbij vermelden dat ik hem nog foutloos in m'n geheugen had!

De bovenkant van de nachtkastjes wilde ik gelijk houden met de matrashoogte want dat is gemakkelijk om dan liggend op de wekker te kunnen kijken. Hoogte in dit geval dus 51 cm. En daar rijst dan het eerste probleem: Hoe breed moet het kastje dan worden? Want, ingevuld in de formule geeft dat dus b : 51 = 51 : a. Leuk, maar nu weet ik nóg niks. Ik wil juist weten hoe lang b moet worden.

Nu is daar op wiskundige wijze natuurlijk best achter te komen, maar er is ook een truc om de verhouding te vinden via de vlakke meetkunde ofwel de planimetrie. Ook die werd op school uitbundig gedoceerd, overigens ook zonder verdere uitleg. Hieronder beschrijf ik het hoe en het waarom van de meetkundige constructie. Zie ook de figuur.

Men neme een lijnstuk A - B. In de formule is dit beschreven als de gehele lijn a. Richt in punt B een loodlijn B - C op met de halve lengte van a. Dit noemen we lijnstuk e of ½ a. Verbind A met C. En tot onze verrassing verschijnt er een lijnstuk dat we voor het gemak d zullen noemen.. Plotseling hebben we nu een rechthoekige driehoek ABC met zijden a, e en d waarmee Pyth Agoras en zelfs zijn broers Jan en Klaas Agoras leuk uit de voeten konden. Want: d² = a² + e². Kiezen we nu voor a een lengte van 2 eenheden, dan is e dus 1. Hieruit volgt dan dat: d = V¯(2² + 1²) = V¯5 = 2.236 eenheden. Deze getallen hebben we straks nodig, maar eerst even verder met de constructie van De Gulden Snede. In de driehoek ABC cirkelen we vanuit C om met de lengte e. Het snijpunt met d noemen we D. Tenslotte cirkelen we om vanuit A met het lijnstuk A - D. Het snijpunt P met a is het punt waar alles om draait, want dát punt verdeelt het oorspronkelijke lijnstuk in twee delen die zich tot elkaar verhouden volgens De Gulden Snede. (Hoe hébben ze het bedacht!).

Nu gaan we weer verder met de berekening van de lengte van de lijnstukken b en c. Lijnstuk d was dus 2.236; trekken we daar e van af, dan volgt hieruit dat AD = 2.236 - 1 = 1.236. AD is gelijk aan AP. Dit lijnstuk heet in de formule c. Voor de totale lengte van a hadden we 2 gekozen, dus wordt b = a - c.

a = 2

c = 1.236

b = 2 - 1.236 = 0.764

Ingevuld in de formule: b : c = c : a geeft 0.764 : 1.236 = 1.236 : 2. Vereenvoudigen door beide zijden van het is-gelijk-teken door 2 te delen levert de verhoudings-getallen van De Gulden Snede.

Dus, als ik een nachtkastje wil maken met "ideale maten" en de hoogte moet 51 cm zijn, dan wordt de breedte: 0.618 : 0.382 = 51(cm) : breedte. Breedte = 51(cm) x 0.382 : 0.618 = 31.5 cm. Best handig dus om die verhoudingsgetallen ergens op te schrijven. De meubelmaker bij ons op de universiteit zei altijd: "Gelijk is ongelijk" en daar had ie gelijk in. Ook weet ik al jaren dat het verschil tussen een kist en een kast maar één centimeter bedraagt. Bedenk dit maar als je iets gaat maken...

De jongens uit de tijd van die Gulden Snede waren zo gek nog niet!